Евгений ПОТЕМКИН, к.ф.-м.н. Радио СПОРТ 271314@mail.ru
Проблема
О том что «гроссмейстерские» ничьи не только не украшают шахматные турниры любых уровней, но и просто вредят, написано много самыми выдающимися шахматистами и журналистами. Предлагалось и множество решений, от морально-этических, то «уголовно»-административных. Предлагались и решения связанные с изменением системы начисления очков. Однако, как «очень трудно найти в темной комнате черную кошку, особенно если ее там нет», так и найти решение проблемы ничьих в рамках традиционной очковой системы просто невозможно. Такого решения просто нет.
Причина
Очки, начисляемые за результат партий (очко за победу, половинка за ничью) являются абсолютными величинами. Результат же партии (победа, ничья, поражение), являются исключительно релятивистским, относительным событием. Надо ли говорить, что ничья с мастером и ничья с перворазрядником несопоставимы при оценке силы шахматиста.
Используя очки при подведении итогов любого турнира, мы автоматически принимаем гипотезу, что сила всех участников турнира одинакова. Но, в этом и заключается внутреннее противоречие очковой системы! Она изначально основана на предположении о равенстве участников, хотя используется для «измерения» различий. Строго говоря, она «работает» правильно только тогда, когда результат всех участников одинаков.
Результат каждой партии – это событие говорящее только одно – Иванов лучше (хуже, равен) Петрова (у). И если еще можно принять предположение, что Иванов и Петров не изменяются от партии к партии и, соответственно, складывать победы и поражения. То в ситуации, когда Иванов выигрывает у Петрова, Петров у Сидорова, а Сидоров у Иванова применять сложение результатов всех партий выглядит просто абсурдным.
Попытки решения
Естественно, что недостатки очковой системы не остались незамеченными. Для их преодоления было предложено несколько десятков различных рейтинговых систем. Самой известной, научно обоснованной и успешно внедренной в практику мирового шахматного сообщества является система Эло. О ее достоинствах и недостатках написано много. Возможно, что это наиболее удачная система для оценки силы шахматиста. При этом в ней заложены и возможности совершенствования. Однако эта система также как и очковая система не применима (строго говоря) для оценки достижений участников в конкретных турнирах (performance rating)
Проблема Эло
Система Эло тоже основана на абсолютных очках. Для того, чтобы скорректировать использование абсолютных очков при оценке релятивистских (относительных) результатов Эло использует начальные рейтинги. Для оценки силы шахматиста в течении продолжительного периода это приводит к вполне удовлетворительным результатам. Система Эло просто «забывает» первоначальный рейтинг и по прошествии определенного числа партий рейтинги Эло приходят в равновесие с результатами. Однако для оценки выступления в одном турнире использование Эло приводит к несправедливости.
Проблема оценки относительных достижений
Обратиться к одному из основных принципов спорта вообще – принципу равенства условий для участников. Весь спорт можно разделить на две большие категории Спорт абсолютных достижений и Спорт относительных достижений. В спорте абсолютных достижений (легкая атлетика, плавание, и др.) имеется способ измерения результата – секундомер, весы и т.д. В спорте относительных достижений (все игровые виды в том числе и шахматы) участники сами выступают в роли «измерительного прибора». Как же обеспечить равенство условий для участников. Даже в круговом турнире, где каждый играет с каждым и казалось бы все условия равны возникает «проблема личной встречи». Строго говоря пока соперники играют с другими участниками они «проходят одинаковый путь» но равны ли они друг для друга?
На
старте все равны?
Исторически, «принцип спортивной справедливости» - равенство условий для всех участников соревнования в спорт относительных достижений был просто перенесен из спорта абсолютных достижений. На старте любого шахматного турнира все участники имею равное количество очков – 0. Это строго соответствует очковой системе. В системе Эло это уже ставится под сомнение и вводится начальный рейтинг. Для оценки силы этот прием оправдан, поскольку, рейтинг Эло постепенно «забывает» прошлые результаты. А как быть в оценке результатов турнира? Если установить всем одинаковый рейтинг, то возникает проблема «расписания» - тот, кто встречается с более слабыми соперниками на старте имеет преимущество. Введение же перед турниром разных стартовых рейтингов – вообще не приемлемо.
Решение проблемы видится в том, чтобы считать участников на старте не «равными» а «равно неизвестными». То есть результат турнира должен определяться только результатами партий. Без использования предположения о равенстве участников на старте как это необходимо делать при очковой системе или рейтинге Эло.
e-рейтинг – решение проблемы?
Е-Рейтинг – это не просто другая система подсчета очков. Е-рейтинг – это другой, боле объективный взгляд на результаты турнира. Под результатами турнира будем понимать только результаты партий. Это так сказать экспериментальные данные парных сравнений объектов, которые мы хотим расставить по ранжиру.
Можно представит себе такою физическую модель. У нас есть
куча камней и необходимо найти самый большой камень. У нас есть веревка. Ни
каких пометок на ней мы делать не можем. Что можно сделать в этой ситуации?
Берем камень обхватываем его веревкой. Держим веревку рукой в том месте где длинны веревки хватило чтобы охватить камень. Теперь все остальные камни раскладываем в две кучи в зависимости от того хватило этого куска веревки или нет.
Берем другой камень и повторяем процедуру. Допустим у
первого камня слева 20 камней справа 25. У второго камня слева 30 камней справа
15. Казалось бы второй камень больше. Но взяли веревку
сравнили камни и второй оказался меньше. Вопрос какой
камень больше?
Для оценки результатов участников в турнире предлагается е-рейтинг. Простейший вариант алгоритма е-рейтинга выглядит так:.
Ri * Li = Sum (Rj *
Lji);
Ri – рейтинг i-го участника
Rj – рейтинг j-го участника
Li – число поражений i-го участника
Lji – число поражений j-го участника от i-го
N-число участников турнира
100 – произвольный коэффициент.
Таким образом, мы имеем линейную систему уравнений в которой неизвестными являются рейтинги участников а коэффициентами результаты партий. Каждое уравнение определяет, что произведение рейтинга участника на число его поражений равно сумме рейтингов проигравших ему соперников. Чтобы сделать систему решаемой принимается условие, что сумма всех рейтингов участников равна определенному числу. Например, удобно взять число участников и умножить его на 100. Таким образом средний рейтинг участников будет равен – 100.
При получении этой системы использовались определение –
рейтинг участника в турнире равен средне взвешенному от парных рейтингов.(Rij)
Ri = Sum Rji * Nji / Ni
Ni – число партий i-го участника
Nij – число партий I-го учистника с j-ым
Отношение парных рейтингов принималось равным отношению побед и поражений.
Rij/Rji = Wij/Lij
Здесь Wij = Lji– число побед i-го участника над j-ым.
Lij = Wji
– число поражений i-го
участника от j-го
И гипотеза, соответствующая известному спортивному принципу – «каждый играет так, как ему позволяет его соперник». Математически это выглядит так
Ri – Rij = -(Rj – Rji).
Эта гипотеза и позволяет перейти от матрицы парных рейтингов (Rij) к столбцу рейтингов участников (Ri)
Цена побед и поражений
Обычно победу оцифровывают как 1 поражение как 0. Но это один из возможных вариантов. В традиционной очковой системе не имеет значение как оцифровывать. Можно и 2 – 0 или 3-2. Важно, чтобы ничья оценивалась как полу сумма оценок победы и поражения. То же самое и в системе Эло.
В алгоритме е-рейтинга соотношение оценка победы и поражения имеет принципиальное значение.
Если взять обычное соотношение оценок 1 – 0. Мы получим «жесткий» е-рейтинг, который означает предположение – «каждая победа отражает реальное превосходство одного соперника над другим». Изменение оценок на 2 – 0 или 10 – 0 ничего не изменяет.
Другой крайний вариант оценок побед и поражений близкими величинами. Например 1000 и 999. В этом случае мы предполагаем что силы соперников равны, а результат достаточно случаен. Таким образом, мы получаем «мягкий» е-рейтинг.
Традиционная спортивная классификация предполагает, что во встречах с участниками низшего разряда обладатель более высокой классификации должен набирать 75%. Исходя из этого можно получить соотношение оценок для «традиционного» е-рейтинга – 3 – 1
Наконец привлекательной представляется гипотеза, когда соотношение оценок побед и поражений получается непосредственно из результатов данного турнира. Оценка побед –количество очков победителя турнира W1. Оценка поражения – количество очков у последнего участника турнира – WN. При этом мы как бы считаем, что результат каждой партия данного турнира является отражением результата турнира
Рейтинг
и Рэнкинг.
В традиционной очковой системе по итогам турнира есть два результата – количество набранных очков и занятое место или рейтинг и рэнкинг. Количество очков используется в системе Эло, для расчета рейтинга, а занятое место используется при определении призовых. При этом соотношение «призовых» определяется достаточно произвольно, исходя из здравого смысла и традиции. Е-рейтинг похоже дает возможность объективно связать занятое место с распределением призового фонда. Ведь в предельном случае – матча между двумя соперниками е-рейтинг это просто отношение побед и поражений. Естественно связать величину рейтинга и величину приза за определенное место.
При использовании «жесткого» е-рейтинга (Победа 1 – Поражение – 0) участник победивший во всех партиях получает весь призовой фонд. (Это один из стимулов борьбы с ничьими. Ведь единственная ничья «съедает» у победителя почти половину рейтинга. И приравняв приз – е-рейтингу мы заставляем лидера играть на всю мощь до конца.
«Мягкий» рейтинг естественно выравнивает соотношение рейтингов и соответственно выравнивал бы соотношение призового фонда.
Использование вариаций между жестким и мягким е-рейтингом при подведении итогов и является вопросом компетенции оргкомитетов и участников. Этой вариацией автоматически определяется распределение призового фонда.
Важно подчеркнуть, что изменение от «жесткого» к «мягкому» варианту е-рейтинга очень мало влияет на распределение мест – рэнкинг. При этом при увеличении количества участников роль «жесткости – мягкости» возрастает.
Как работает е-рейтинг.
Конечно, важно знать алгоритм расчета, но значительно важнее знать как рейтинг оценивает различные турнирные ситуации.
Посмотрим что получится для шахматистов одной известной
редакции. К счастью в турнир были включены еще трое шахматистов из соседней
котельной – Иванов, Петров и Сидоров. Это позволит нам более наглядно
продемонстрировать свойства е-рейтинга.
Простейший вариант. Турнир без “ошибок” То есть вышестоящий выигрывает у
нижестоящего Жесткая оценка победы (W=1 L=0)
Rnk
Name 1 2
3 4 5
6 7 8
И В Н
П Е-R
----------------------------------------------------------------
1. Galkin XXX 1
1 1 1
1 1 1
7 7 0
0 800
2. Palkin
0 XXX 1 1
1 1 1
1 7 6
0 1 0
3. Malkin
0 0 XXX
1 1 1
1 1 7
5 0 2 0
4.
Chalkin 0 0
0 XXX 1
1 1 1
7 4 0
3 0
5.
Zalkind 0 0
0 0 XXX
1 1 1
7 3 0
4 0
6. Ivanov
0 0 0
0 0 XXX
1 1 7
2 0 5 0
7.
Petrov 0
0 0 0
0 0 XXX 1 7
1 0 6 0
8. Sidorov 0 0
0 0 0 0 0 XXX
7 0 0
7 0
В жестком варианте система определяет одного победителя и
одного проигравшего. Галкин забирает весь приз. А что тут неправильного? Галкин
– по сути сеансер, остальные для него клиенты, и как они там играют друг с
другом для него неважно. Пришел, заработал на пиво и ушел. Многих отпугнет
наличие явного лидера турнира. Для того, чтобы провести ранжирование остальных
участников необходимо удалить все результаты литера и пересчитать рейтинг
заново.
Посмотрим как сработает е-рейтинг с “традиционной” оценкой
победы (3 к 1)
Rnk Name 1
2 3 4
5 6 7
8 И В
Н П Е-R
----------------------------------------------------------
1. Galkin XXX 3
3 3 3
3 3 3
7 7 0
0 240
2. Palkin
1 XXX 3 3
3 3 3
3 7 6
0 1 160
3. Malkin
1 1 XXX
3 3 3
3 3 7
5 0 2 114
4.
Chalkin 1 1
1 XXX 3 3
3 3 7
4 0 3 86
5.
Zalkind 1 1
1 1 XXX
3 3 3
7 3 0
4 67
6. Ivanov
1 1 1
1 1 XXX
3 3 7
2 0 5 53
7. Petrov 1 1 1 1 1 1 XXX 3 7
1 0 6 44
8. Sidorov 1 1 1 1 1 1 1 XXX
7 0 0 7 36
При использовании «традиционного» е-рейтинга даже при всех
победах лидер не получает весь призовой фонд. При 8-и участниках приз
победителя в 2,4 раза превышает средний приз.
Вариант «мягкого» е-рейтинга. Победа оценивается в 100
поражение - 99
Rnk Name 1
2 3 4
5 6 7
8 И В
Н П R
--------------------------------------------------------------
1. Galkin XXX 100 100 100 100 100 100 100 7
7 0 0
100
2. Palkin 99 XXX 100 100 100 100 100 100 7
6 0 1
100
3. Malkin
99 99 XXX 100 100 100 100
100 7
5 0 2
100
4.
Chalkin 99 99 99
XXX 100 100 100 100 7 4
0 3 100
5.
Zalkind 99 99
99 99 XXX 100 100 100 7
3 0 4 100
6. Ivanov
99 99 99
99 99 XXX 100 100 7
2 0 5
100
7. Petrov 99 99
99 99 99 99 XXX 100
7 1 0
6 100
8. Sidorov 99 99
99 99 99 99 99 XXX 7 0
0 7 100
Здесь уже
предполагается, что все участники турнира равны и результаты в определенном
смысле “случайны. Как видим рейтинги в этом случае различаются лишь на уровне
десятых долей. Однако расстановка мест такая же как и в случае «жесткого» или
«традиционного» рейтинга.
«Правильный турнир» Традиционный е-рейтинг
Наказание за «гроссмейстерскую» ничью лидера с аутсайдером поистине жестоко. Лидер сразу потерял 280 очков. И только 40 очков идут аутсайдеру – Сидорову. 240 – уходят остальным участникам. При этом 140 получает второй – Палкин. И Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Понятно, что зная «характер» е-рейтинга вряд ли Галкин пойдет на договорную ничью, что было бы вполне естественно при очковой системе.
|
1 |
Galkin |
6 |
1 |
0 |
7 |
520 |
|
2 |
Palkin |
6 |
0 |
1 |
6 |
140 |
|
3 |
Malkin |
5 |
0 |
2 |
5 |
47 |
|
8 |
Sidorov |
0 |
1 |
6 |
1 |
40 |
|
4 |
Chalkin |
4 |
0 |
3 |
4 |
23 |
|
5 |
Zalkind |
3 |
0 |
4 |
3 |
14 |
|
6 |
Ivanov |
2 |
0 |
5 |
2 |
9 |
|
7 |
Petrov |
1 |
0 |
6 |
1 |
7 |
Галкин расслабился и зевнул коня в элементарной трехходовке. А Сидоров хоть и играл слабо, но в эндшпиле все же провел ферзя. Реакция «жесткого» рейтинга на это событие была просто ужасна. Вместо того, чтобы забрать весь призовой фонд турнира 800 р. Галкин довольствуется суммой 369 р. Сидоров за удачу и упорство получит 62 р – меньше чем средний приз (100 р) все же он проиграл 6 партий из 7-и. Но выиграл у абсолютного лидера. А больше всех выиграл от этого курьезного результата – Палкин. Уступив лидеру он выиграл у всех и 215 р – награда за труд. Остальные участники тоже только выиграли от такого неожиданного результата. При этом Сидоров поднимается на четвертую ступеньку. Интересно, что результат такого исхода курьезной партии неоднозначен для Чалкина, Залкинда, Иванова и Петрова. В рейтинге они выиграли, но в рэнкинге (месте) проиграли, пропустив вперед Сидорова
|
1 |
Galkin |
6 |
0 |
1 |
6 |
369 |
|
2 |
Palkin |
6 |
0 |
1 |
6 |
215 |
|
3 |
Malkin |
5 |
0 |
2 |
5 |
72 |
|
8 |
Sidorov |
1 |
0 |
6 |
1 |
62 |
|
4 |
Chalkin |
4 |
0 |
3 |
4 |
36 |
|
5 |
Zalkind |
3 |
0 |
4 |
3 |
22 |
|
6 |
Ivanov |
2 |
0 |
5 |
2 |
14 |
|
7 |
Petrov |
1 |
0 |
6 |
1 |
10 |
|
1 |
Galkin |
6 |
0 |
1 |
6 |
190 |
|
2 |
Palkin |
6 |
0 |
1 |
6 |
168 |
|
3 |
Malkin |
5 |
0 |
2 |
5 |
120 |
|
4 |
Chalkin |
4 |
0 |
3 |
4 |
90 |
|
5 |
Zalkind |
3 |
0 |
4 |
3 |
70 |
|
8 |
Sidorov |
1 |
0 |
6 |
1 |
59 |
|
6 |
Ivanov |
2 |
0 |
5 |
2 |
56 |
|
7 |
Petrov |
1 |
0 |
6 |
1 |
46 |
Трудно сказать что справедливее – «жесткий» или «традиционный» вариант. Наверное здесь многое зависит от «сверхзадачи» турнира или организаторов. Если турнир отборочный, то, наверное, больше подходит «традиционный» вариант. Если же турнир финальный – то для дольше всего интригу сохраняет «жесткий» вариант.
Как
рассчитать е-рейтинг.
Е-Рейтинг требует решения системы линейных уравнений. Отметим, что с решением такой системы нас знакомили в четвертом классе. Это а*х + b*y = c. До пяти – шести участников это можно сделать вручную. В обычном «Excel», который есть на любом компьютере, есть встроенная функция расчета определителя матрицы, которая позволяет рассчитать е-рейтинг на рабочем листе для турниров до 250 участников минуты за три. Для расчета 1000 участников потребуется около получаса на обычном домашнем компьютере
Почему
е-рейтинг
Буква е в названии е-рейтинг в русском названии отражает слова «единый», «естественный» В английской транскрипции e можно интерпретировать как «enhanced» «electronic», «economic». И вообще мен буква е нравится.